Vectores en el Espacio

El sistema de coordenadas en el Espacio esta formado por tres ejes mutuamente ortogonales entre si: X. Y, Z, y que son copias dela RECTA REAL. El punto de intersección de estos tres ejes, que coincide con el numero CERO en cada uno de ellos, es llamado el ORIGEN DE COORDENADAS.
A cada punto P en este espacio se le asocia una terna ordenada números reales P = (x,y,z) de la siguiente manera:

A l igual que los vectores en un plano (R x R) se cumple la SUMA , RESTA, MULTIPLICACIÓN POR UN NUMERO REAL DE VECTORES
Así que ya no veremos esos temas,  ;-) pero veremos cosas nuevas.

Producto escalar
Sean dos vectores a = (a1,a2,a3) y  b=(b1,b2,b3) tal que el producto escalar me dará un numero real la cual sera:
   a.b = (a1,a2,a3) . (b1,b2,b3) = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3  
Asimismo tenemos la LONGITUD O NORMA de a = (a1,a2,a3) :

Proyección Ortogonal 
Sean a y b dos vectores que no nulos a = (a1,a2.a3)  y b = (b1, b2,b3)

Propiedades:

1) Proy c (a+b) = Proyc (a) + Proyc (b)      c: es un vector cualquiera

2) Proy b (t.a) = t .(Proy b (a))                   t: es un numero real  

Componente Ortogonal
La componente ortogonal es un numero real y esta relacionado al vector proyección ortogonal, por ser el modulo del vector proyección y se denota

Propiedades:
1) Cp c (a+b) = Cp c (a) + Cp c (b)      c: es un vector cualquiera

2) Cp b (t.a) = t .(Cp b (a))                   t: es un numero real 

He aquí un vídeo:

Triple Producto Escalar
El triple producto escalar de los vectores a. b, c es el numero real [a.b.c] = a.(b x c), y que se puede calcular:

a.(b x c) =det 

Al saber este triple producto escalar la cual es muy importante estamos calculando su volumen que forman estos tes vectores:

Como podemos apreciar el gráfico nos amos cuenta que los tres vectores forman un solido lo cual tiene volumen.