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Conceptos sobre los Vectores

Libro Algebra



Vectores vectores

Libros sobre Vectores

Libros:
-Álgebra Lineal (Stanley Grossman)
- Introducción al Álgebra Lineal (Howard Anton)
-Análisis Vectorial (Juan Jose Escala)
-Matematicas avanzadas para ingeniería (Kreyzig)



Referencias:

http://books.google.com.pe/books?id=c_JKhilZ3eYC&pg=PR1&dq=analisi+vectorial&hl=es&sa=X&ei=08TvT4fhEezp0QGl7YieAw&ved=0CF4Q6AEwCA#v=onepage&q=analisi%20vectorial&f=false

http://es.scribd.com/doc/66470179/9/VECTORES-en-Rn

http://books.google.com.pe/books?id=rx3EPaADTJUC&printsec=frontcover&dq=analisi+vectorial&hl=es&sa=X&ei=08TvT4fhEezp0QGl7YieAw&ved=0CDUQ6AEwAQ#v=onepage&q=analisi%20vectorial&f=false

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revista-fisica/Archivo/N4/Vectores-IvanVargas.pdf

Vectores en el Espacio

El sistema de coordenadas en el Espacio esta formado por tres ejes mutuamente ortogonales entre si: X. Y, Z, y que son copias dela RECTA REAL. El punto de intersección de estos tres ejes, que coincide con el numero CERO en cada uno de ellos, es llamado el ORIGEN DE COORDENADAS.
A cada punto P en este espacio se le asocia una terna ordenada números reales P = (x,y,z) de la siguiente manera:

A l igual que los vectores en un plano (R x R) se cumple la SUMA , RESTA, MULTIPLICACIÓN POR UN NUMERO REAL DE VECTORES
Así que ya no veremos esos temas,  ;-) pero veremos cosas nuevas.

Producto escalar
Sean dos vectores a = (a1,a2,a3) y  b=(b1,b2,b3) tal que el producto escalar me dará un numero real la cual sera:
   a.b = (a1,a2,a3) . (b1,b2,b3) = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3  
Asimismo tenemos la LONGITUD O NORMA de a = (a1,a2,a3) :

Proyección Ortogonal 
Sean a y b dos vectores que no nulos a = (a1,a2.a3)  y b = (b1, b2,b3)

Propiedades:

1) Proy c (a+b) = Proyc (a) + Proyc (b)      c: es un vector cualquiera

2) Proy b (t.a) = t .(Proy b (a))                   t: es un numero real  

Componente Ortogonal
La componente ortogonal es un numero real y esta relacionado al vector proyección ortogonal, por ser el modulo del vector proyección y se denota

Propiedades:
1) Cp c (a+b) = Cp c (a) + Cp c (b)      c: es un vector cualquiera

2) Cp b (t.a) = t .(Cp b (a))                   t: es un numero real 

He aquí un vídeo:

Triple Producto Escalar
El triple producto escalar de los vectores a. b, c es el numero real [a.b.c] = a.(b x c), y que se puede calcular:

a.(b x c) =det 

Al saber este triple producto escalar la cual es muy importante estamos calculando su volumen que forman estos tes vectores:

Como podemos apreciar el gráfico nos amos cuenta que los tres vectores forman un solido lo cual tiene volumen.

Producto Escalar y Vectorial

Producto Escalar
Sean a y b dos vectores tal que a = ( a1 , a2 ) y b = ( b1 , b2) se define de la siguiente manera EL PRODUCTO ESCALAR
a . b = a1 . b1 + a2 . b2

TEOREMAS
Dos vectores a y b son ORTOGONALES (perpendiculares ) se cumple que su producto escalar es igual a CERO.

a . b = 0

y otra forma de hallar el PRODUCTO ESCALAR seria conociendo el angulo entre los dos vectores como veremos:

                                                      

PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR

Dados los vectores a = ( a1 , a2) ,  b= ( b1, b2) ,  c =( c1 , c2) y el numero real r se cumple que:

1. a.b=b.a                                                                      (Conmutativo)
2. (ra .b ) = r (a.b)                                             
3. a. (b+c)= a.b +a.c                                                      (Distribución)
4. a.a = |a|^2  = a1 ^2    +  a2 ^2
5.  |a + b| ^2  =   |a|^2 + 2(a.b) + |b|^2

Producto Vectorial

Sean a y b dos vectores tal que a = ( a1 , a2 , a3 ) y b = ( b1 , b2 , b3) se define EL PRODUCTO VECTORIAL como una determinante de 3x3 veamos:

Tal que es un determinante se calcula como:

         a x b = ( a2.b3  - a3.b2 , a3.b1 - a1.b3 , a1.b2 - a2.b1)  pertenece a R^3 

También se puede calcular el modulo del producto vectorial, he aquí la formula:

Vectores Paralelos y Unitarios

Vectores Paralelos

Dos vectores a y b son PARALELOS (a // b) si uno de ellos se puede expresar como un múltiplo real del otro. Es decir :

1) Dos vectores no nulos a y b TIENEN LA MISMA DIRECCIÓN (es decir, tienes el mismo sentido) si a             

   es múltiplo positivo de b,osea, si:

                                                      a = r.b     para algún  r >0
 2) Dos vectores no nulos a y b TIENEN DIRECCIONES OPUESTAS, si a es un múltiplo negativo de b, es decir, si                                    

 a = r.b     para algún  r <0

Vectores Unitarios
Un vector u es UNITARIO si su longitud ( modulo)  es igual a 1,  |a|. = 1    

El vector unitario se calcula como:

Cuya gráfica se representaría al vector unitario como la mínima parte del vector a

Representación geométrica de los vectores

Todo vector a= ( a1 , a2 )  puede ser representado geométricamente por una flecha, de la siguiente manera:
Se elige un punto cualquiera P0 a partir del cual se procede primero a un desplazamiento paralelo al eje X en una distancia dirigida a1, es decir hacia derecha si a1>0 o hacia la izquierda si a1<0.
Luego se desarrolla el desplazamiento paralelo al eje Y en una distancia dirigida a2, es decir hacia arriba a2>0 o hacia abajo si a2<0.
De esta  manera se ubica al punto de llegada P1
La flecha trazada partiendo de P0 y que termina en P1 es la que va a representar al vector a tal que se calcula como P1 -P0

Cada vector puede ser representado por muchas flechas, dependiendo del punto de partida (P0)

En conclusión un vector se puede representar  de la forma siguiente:

Suma de vectores (GRÁFICA)

Dados dos vectores A = ( A1 , A2 ) y B = (  B1,  B2 ) entonces el vector suma:

 A + B = (A1+ B1,  A2 + B2) cuya gráfica será representada:

Resta de vectores (GRÁFICA)
Dados los vectores A = ( A1 , A2 ) y B = (  B1,  B2 ) entonces la vector resta de ellos:
A - B = A+ (-B) = (A1 - B1,  A2 - B2) cuya gráfica sera representada :

Definición de un Vector

Espacio Vectorial Bidimensional  R x R

Al producto cartesiano R x R junto con las dos operaciones previamente definidas se le llama ESPACIO VECTORIAL BIDIMENSIONAL REAL  R x R y sus elementos(o puntos) a = (a1 , a2) ahora se les dará el nombre de VECTORES mas adelante definiremos sus características.

Veremos que como en los números reales cumplen los siguientes axiomas:

Teorema .-
Axiomas de la suma:

Sean a = (a1 , a2 ) ,  b = (b1 , b2 ) , c = (c1 , c2 ) vectores de R x R y sean r y s numeros reales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

A1 : a + b ∈  R x R                          (Clausura )

A2:  a + b = b + a                             (Conmutativa )

A3   ( a + b ) + c = a + ( b +c )         (Asociativa )

A4:   Existe un ÚNICO elemento 0 = (0 , 0 ) ∈  R x R llamado el elemento CERO ( o nulo)
 de R x R tal que a + 0 = a
A5: Para cada vector a= (a1,a2) de R x R existe un ÚNICO vector denotado -a en R x R tal que:
 a + ( -a) = 0 donde -a = (-a1 ,-a2 ) el lamado el OPUESTO del vector a, o también llamado
 EL INVERSO ADITIVO  de a.

Axiomas de la multiplicación:
M1: r.a ∈  R x R 
M2: 1.a = a donde 1 es el numero real uno
M3: (r + s ).a = r.a + s.a
M4 r. ( a + b)= r.a + r.b
M5 : r.(s.a) = r.s(a)




Resta de Vectores
Para todo par de vectores a y b de R x R se define la resta a- b como el vector :

                                 a - b = a + (-b)

Álgebra Vectorial Bidimensional

Recordemos que el Producto Cartesiano R x R es el conjunto de pares ordenados de números reales; es decir
R x R = {(x,y) / x ∈ R y    y ∈ R   }
donde la IGUALDAD DE PARES ORDENADOS se define de la siguiente manera,
( a, b) = ( c , d) ↔  a = c    y    b = d


A los elementos de R x R se les llama PUNTOS.


A continuación presentamos dos operaciones más resaltantes entre puntos de R x R


A) SUMA DE PUNTOS DE R x R
      Dados los puntos  a = ( a1 , a2 )   ,     b= ( b1 ,  b2) , se define la suma de a + b como el par ordenado
      a + b = (a1 + b1 , a2 + b2)




B) MULTIPLICACIÓN DE UN PUNTO POR UN NUMERO
     Dado a = ( a1 , a2) y r ∈ R , se define el producto r .a como ,
    r .a = ( r.a1 , r.a2) ∈ R x R


Ejemplo:
Si a = ( 1 , 8) , b= ( 6 , -2) ,  halle 2.a +4.b
Solución:
2.a +4.b = 2.(1 , 8 ) + 4. (6, -2 )
2.a +4.b = (2 , 16) + (24 ,-8 )
2.a +4.b = (26 , 8)

Análisis Vectorial (Introducción)

Este tema trata acerca de VECTORES y la descripción de las operaciones entre ellos , ademas veremos  VECTORES EN EL ESPACIO, y otras cosas más
Sin mas preámbulo comencemos...
Les dejo una guía de lo que se va a trabajar
Sistema de coordenadas cartesianas
Álgebra Vectorial
Definición de un vector
Representación geométrica de los vectores
Vectores paralelos y unitarios
Producto escalar y vectorial
Vectores en el espacio

Sistema de Coordenadas Cartesianas ( o rectangulares)

Este sistema está constituido por un plano y dos ejes de la recta real R, perpendiculares entre sí llamadas EJE DE COORDENADAS X y Y.

El punto de intersección de estos dos ejes es denominado EL ORIGEN DE COORDENADAS, y coincide con el numero cero en ambos ejes

A cada punto P de este plano se le asocia un par ordenado de números reales P=(x,y) donde ambos números x e y estan ubicados en los ejes X y Y respectivamente